Ito Formula [1]
Simple Fundamental Case
다음을 증명해 보자.
$$
\int_0^t W_s dW_s= \frac{1}{2}W^2_t – \frac{1}{2} t$$
Classical 한 증명도 있지만 빠른 증명을 생각해보자
Let $f(t, x) = \frac{1}{2} x^2$ 의 경우 즉, 굉장히 일반적인 Quadratic한 경우를 생각해 보면
여기에 $dX_t = dW_t$ 라 놓으면 Ito Differential 에 의해
$$
df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2$$
여기서 $\partial_t f = 0, \; \partial^2_{x^2} f = 1$ 이므로
$$
df = x dW_t + \frac{1}{2} dt$$
그런데 가정에서 $dX_t = dW_t$ 이므로 $x = W_t$ 대입하고 정리하면
$$
\begin{align*}
df &= W_t dW_t + \frac{1}{2} dt \\
W_t dW_t &= df – \frac{1}{2} dt \\
\int_0^t W_s dW_s &= \int_0^x df – \frac{1}{2} \int_0^t ds \\
\int_0^t W_s dW_s &= \frac{1}{2} x^2|_{x=W_t} – \frac{1}{2} t
\end{align*}$$
따라서
$$
\int_0^t W_s dW_s = \frac{1}{2} W^2_t – \frac{1}{2} t$$
Deduction of Ito Differential Equation
Set the Following Fundamental SDE
$$
dX_t = a(x,t)dt + \sigma(x,t)dW_t$$
Then, since $(dX_t)^2 = \sigma^2(x,t) dt$
$$
\begin{align*}
df &= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2 \\
&= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} (a(x,t)dt + \sigma(x,t)dW_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2 \\
&= \left(\frac{\partial f}{\partial t} + a(x,t)\frac{\partial f}{\partial x} \right)dt + \sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}dW_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2(x,t) dt \\
&= \left(\frac{\partial f}{\partial t} + a(x,t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right)dt + \sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}dW_t
\end{align*}$$
Geometrical Brown motion
Consider the following SDE
$$
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$
이러한 SDE를 만족하는 프로세스 $S_t$를 기하 브라운 운동이라고 한다. 이를 풀기위하여는 ITo 미분방정식의 해법을 사용해야 한다.
- $S_t = f(t, x)|_{x = W_t}$ 로 놓고 편미분 방정식을 풀듯, Ito 미방을 세우고 푼다.
- 즉, Simple Fundamental Case 에서 나타났듯이, $f(t,x)$에 대한 Ito 미분
$$
df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2$$을 놓고 $df = dS_t$ 로 생각하면 된다. 그리고 $x=W_t$ 로 놓았기 때문에 $dx_t = dW_t$ 이다. 그러므로
$$
\begin{align*}
dS_t &= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2 \\
dS_t &= \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) dt + \frac{\partial f}{\partial x} dW_t
\end{align*}$$
그러므로
$$
\begin{align}
\mu S_t &= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \\
\sigma S_t &= \frac{\partial f}{\partial x}
\end{align}$$
앞에서 $S_t = f(x,t)|_{x=W_t}$ 라고 했으므로 위 방정식은 보다 알기 쉬운 형태가 된다.
$$
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial t} (t,x) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (t,x)&= \mu f(t,x) \tag{1}\\
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x) &= \sigma f(t,x) \label{eq:01} \tag{2}
\end{align}$$
식 ($\ref{eq:01}$) 에서 $f(x,t) = h(t)e^{\sigma x}$ 로 놓으면
$$
\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = h'(t) e^{\sigma x} + \frac{1}{2} h(t) \sigma^2 e^{\sigma x} = \mu h(t)e^{\sigma x}$$
에서
$$
h'(t) = (\mu – \frac{1}{2} \sigma^2)h(t) \Rightarrow h(t) = C e^{(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2)t}$$
그러므로 $f(x,t) = C e^{(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2)t + \sigma x}$ 이므로
$$
S_t = S_0 e^{(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2)t + \sigma W_t}$$
이 프로세스는 Martingale 이며 평균은
$$
ES_t = S_0 e^{\mu t} \cdot e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 t} Ee^{\sigma W_t} = S_0 e^{\mu t} ( Ee^{\sigma W_t})^{-1} Ee^{\sigma W_t} = S_0 e^{\mu t}$$
이다.
Ito Integral As Martingale
Theorem 1 [Ito Integral is Martingale]
${W_t }_{t \geq 0}$ is $(\rm{P}, {\mathcal{F}t }{t \geq 0})$ – Wiener process. For each $t$, $f(t,w)$ is a $\mathcal{F}_t$ measurable random variable, and
$$
E(f^2 (t,w)) < \infty$$
, then the stochastic process
$$
M_t = \int_0^t f(s,w) dW_s$$
is a Martingale.
위 정리는 사실로서 받아들이자 (다른 text들에 부지기수로 증명이 나와 있다.)
재미있는 것은 결국 $M_0 = \int_0^0 f(s,w) dW_s = 0$ 이기 때문에 $EM_0 = 0$ 이고 Martingale이기 때문에 $EM_t = EM_0 = 0$ 이다.
이 사실을 사용하여 위 Geoemtrical SDE의 평균값을 다시 계산해 보면
$$
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$
에서
$$
S_t – S_0 = \int^t_0 \mu S_t dt + \int^t_0 S_t dW_t$$
이므로 Ito Integral의 Martingale 성질에서 $\int^t_0 S_t dW_t = 0$ 이므로
$$
\begin{align*}
ES_t &= S_0 + \int^t_0 \mu S_t dt \\
EdS_t &= \mu S_t dt \\
ES_t &= S_0 e^{\mu t}
\end{align*}$$
Notice (of Ito integral as Martingale)
그러므로 편미분 방정식 중에서 $dt$ 에 대한 PDF solution을 찾고 이것을 이용하여 Martingale 특성을 갖도록 하는 $M_t = \int_0^t f(s,w) dW_s $ 해를 구하면 SDE의 해를 구하는 것이 된다. (생각보다는 만만하지 않다.)
- 이를 가능하게 하려면 Girsanov Theorem 이 필요하다.
예를 들어
$$
EdS_t = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2})dt = \mu S_t dt$$
이것의 의미는 $f(t,x)|{x=W_t} = e^{\mu t}g(t,x)|{x=W_t} = e^{\mu t}\bar{g}(t) E(\bar{h}(W_t))$ 가 존재하여 다음을 만족시킨다는 의미이다.
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \sigma f$$
하지만, 이를 위 예제에 대입하여 생각해 보면 결국 풀수는 있으나 일반적인 방법론이 되기는 어렵다.
오히려, 앞에서 소개한 방법에 의해 $\frac{\partial f}{\partial x} = \sigma f$ 를 푸는 것은 간단하므로 이를 사용하여 Stochastoc Process를 하나 얻고 즉, $f(x,t)|{x=W_t} = h(t)e^{\sigma x} |{x=W_t} $ 이것이 Maringale이 되게 하는 $h(t)$를 구하는 것, 즉, Girsanov Theorem으로 접근하는 것이 더욱 일반적이다.
간단히 생각해보면
$$
E h(t)e^{\sigma W_t} = h(t) e^{\frac{1}{2} \sigma^2 t} = e^{\mu t}$$
에서 $E(\bar{h}(W_t))=1$ 되도록 하면 $t$ 에 대한 방정식이 되므로 일반적인 편미분 방정식의 해법 (상미분 방정식 만들기)이 된다. 다시말해 $h(t) = e^{\mu t}e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 t}$, 되게 하면 해결이 된다.
- 첫번쨰 편미분항의 계산
$$
\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \left((\mu – \frac{1}{2} \sigma^2) + \frac{1}{2} \sigma^2 \right) e^{(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2)t+\sigma x}
= \mu S_t$$ - 두번쨰 편미분항의 계산
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \sigma e^{(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2)t+\sigma x} = \sigma S_t$$
정리하면
- $dW_t$ 에 대한 상미분 방정식을 푼다. ($W_t$를 $x$로 보고)
- Girsanov Theorem등에 의해 이를 Martingale로 만들 수 있는 보조 함수를 구한다.
- $dt$ 에 대한 미분 방정식 해를 여기에 대입하여 최종 해를 구한다.
Feynmann-Kac 방정식도 이렇게 해를 구할 수 있을 것이다.
Martingale 특성을 사용한 Geometrical SDE 의 더 빠른 해석
앞에서 $EdS_t = \mu S_t dt$ 라고 놓았다. 그렇다면,$E \frac{1}{S_t} dS_t = \mu dt$ 에서 $ln(S_t) = \mu t + C_0$ 이다. 좌항을 보았을때, 결국 $S_t$ 의 log가 나온다는 의미이므로 $f(x) = \ln(x)$ 를 놓고 이를 사용하여 SDE를 풀어보자. 여기서 $x$는 결국 $X_t$ (다시말해 $S_t$ 인) 통짜로 stochastic Process로 간주된다.
- Let the Geometrical SDE
$$
dX_t = \mu X_t dt + \sigma X_t dW_t$$ - $f(x) = \ln(x)$ 에 대한 1, 2차 미분
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x}, \;\; \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = – \frac{1}{x^2}, \;\; \frac{\partial f}{\partial t} = 0$$ - $f(X_t)$ ($S_t$로 $X_t$를 놓아도 된다.) 에 대한 Ito SDE
$$
\begin{align*}
df(X_t) = d(\ln(X_t)) &= \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2 \\
&= \frac{1}{X_t} \left( \mu X_t dt + \sigma X_t dW_t \right) – \frac{1}{2} \frac{1}{X^2_t} \sigma^2 X^2_t dt \\
&= \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)dt + \sigma dW_t
\end{align*}$$
그러므로
$$
\int^t_0 d(\ln(X_t)) = \int^t_0 \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)dt + \int^t_0 \sigma dW_t$$
$$
X_t = X_0 e^{( \mu – \frac{1}{2} \sigma^2 )t + \sigma W_t}$$
Langevine Equation의 경우
다음의 SDE를 생각해 보자
$$
dS_t = -\alpha S_t dt + \sigma dW_t$$
1. 정통적인 방법 ($S_t = f(t,x)|_{x = W_t}, \; dx = dW_t$)
Let $S_t = f(t,x)|_{x = W_t}$ 그리고 $x = W_t$ 에서 $dX_t = dW_t$ 라 놓고 Ito SDE를 전개하면
$$
\begin{align*}
df &= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x}dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dt \\
&= (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} )dt + \frac{\partial f}{\partial x} dW_t = -\alpha S_t dt + \sigma dW_t
\end{align*}$$
일단, 쉽게 구해지는 $dW_t$ 항 부터 보면
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \sigma \rightarrow f=h(t)(C_0 + \int^x_0 h^{-1}(t) \sigma dx)$$
적분항 내에 $h^{-1}(t)$가 있어애 원래의 미분 방정식이 나온다. 이것을 $dt$ 에 놓고 구하기 위해서
$$
\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\alpha f = C_0 h'(t)\;\; \because \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$$
$$
-\alpha C_0 h(t) + \sigma x = C_0 h'(t)$$
$x$가 임의의 값일 때도 미분에서는 상관 없기 때문에 ($\partial_x f = \sigma, \partial^2_{x^2} f = 0$) $x=0$ 이라 놓고 풀면
$$
-\alpha C_0 h(t)= C_0 h'(t), \;\; h(t) = e^{-\alpha t}$$
따라서 Langevine 방정식의 해는
$$
S_t = e^{-\alpha t}(C_0 + \int^t_0 \sigma e^{\alpha s} dW_s)$$
2. Alternative Solution
$$
EdS_t = -\alpha S_t dt$$
에서 $\Psi(t) = e^{-\alpha t}$ 라 볼 수 있다. 이때 $S_t = \Psi(t)X_t$ 라고 하면
$$
dS_t = -\alpha e^{-\alpha t} X_t dt + e^{-\alpha t} dX_t \tag{3}$$
가 된다. 이것이 동일한 Langevine 방정식이 되려면 $dX_t = e^{\alpha t} \sigma dW_t$ 이어야 한다. (앞의 $dt$ 항의 경우 이미 $S_t = \Psi(t)X_t$ 에서 $X_t = e^{\alpha t}S_t$ 로서 조건이 만족된다. 바로 이 식을 만족하는 미분 방정식에서 출발하였기 때문이다.)
그런데, 이 방정식은 간단한 Only Wiener Process 이므로 양변에 적분을 취하면
$$
X_t = C_0 + \int^x_0 e^{\alpha t} \sigma dW_t$$
이를 사용하면
$$
S_t = e^{-\alpha t}(C_0 + \int^t_0 e^{\alpha s} \sigma dW_s)$$
Notice 2
정통적인 방법의 정리
- $S_t = f(t,x)|_{x=W_t}$, $dX_t = dW_t$ 로 놓고 Ito Differential Equation을 전개한다.
- $dW_t$에 대한 미분 방정식 $\frac{\partial f}{\partial x} = h(x)$을 풀어서 이를 기반으로 Ito 미분방정식을 푼다.
또 다른 방법
- 문제로 주어진 SDE에서 $EdS_t = \mu(t,x)dt$ 를 기반으로 1차 미분방정식을 푼다.
- Transition 함수 $\Psi(t)$ 를 구하고 $S_t = f(t,x)|_{x = W-t}=\Psi(t)h(x,t)|_{x= W-t}$ 로 놓고 x에 대한 미분방정식을 푼다.
- $h(x)$ 가 아닌 $h(x,t)$인 이유는 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 가 존재하여 $dt$ 에 대하여 $\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ 를 전개해야 하기 때문이다. 이는 앞에서 구한 Transition 함수로 모두 Cover 되지 않기 때문이다.
Geometrical SDE를 두번째 방법으로 푸는 경우
동일하게 $\Psi(t) = e^{\mu t}$ 이 경우 $S_t = f(x,t) = \Psi(t)g(x,t)$ 로 볼 수 있다.
먼저 $dW_t$ 항에 대해서 생각해보면
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \sigma S_t = \sigma f(x,t) = \sigma \Psi(t)g(x,t) = \Psi(t
) \frac{\partial g}{\partial x}(x,t)$$
$t=0$ 에 대한 해를 구하면 $g(0, x) = C_0 e^{\sigma x}$ 로 볼 수 있다. 특별히 $C_0 = 1$ 로 놓고 $g(0,x)=h(t)e^{\sigma x}$로 놓으면
$$
\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \mu e^{\mu t} e^{\sigma x} h(t) + e^{\mu t}e^{\sigma x} h'(t) + \frac{1}{2} \sigma^2 e^{\mu t}e^{\sigma x} h(t) = \mu e^{\mu t} e^{\sigma x} h(t)$$
따라서
$$
h(t) = e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 t}$$
그러므로 최종 솔루션은
$$
S_t = S_0 e^{(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}$$
생각해보면 결국 정통적인 방법으로 푼 것과 같은 것이다.
따라서, 일단, 일반적인 방법은 정통적인 방법으로 Solution을 구하는 것이며 좀 더 단순한 형태나 특이한 형태가 발견될 시에 다른 변형 방법을 도입하는 것이 좋다.