Problems

Linear Algebra

Problem 1

Let $A, B$ be a compatible matrices. Show

$$
B(I + AB)^{-1} = (I + BA)^{-1}B, \;\; (I+A)^{-1}=I – A(I+A)^{-1}$$

Solve

keep in mind the Matrix Inverse Lemma

$$
(A + BCD)^{-1} = A^{-1} – A^{-1}B(C^{-1} + DA^{-1}B)DA^{-1}$$

CASE 1
Mutiply $(I+BA)$ to both sides

$$
\begin{align*}
(I+BA)B(I+AB)^{-1} &= (I + BA)(I + BA)^{-1} B \\
B(I+AB)(I+AB)^{-1} & = B
\end{align*}$$

즉, 이러한 형태는 다음과 같은 결합법치 특성을 사용하면 된다

$$
(I+BA)B = B(I+AB)$$

CASE 2
$A = I, B=A, C=I, D=I$
고로 Matrix Inversion Lemma에 의해 Direct로 나온다, 또 다른 방법은 양변에 $(I+A)$를 곱하여

$$
\begin{align*}
I &= (I+A)-A(I+A)^{-1}(I+A) \\
&= (I+A)-(I+A)^{-1}A(I+A) \\
&= (I+A)-(I+A)^{-1}(I+A)A = I
\end{align*}$$