The Least Action Principle – 최소작용 원리

시간 $t_1$ 에서 $t_2$ 에서의 시스템의 동역학 상태가 각각, A, B 라고 하면 상태 A 에서 B 로의 진화는 다음 적분의 값이 최소가 되도록 진화한다.

$$ S \equiv \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(x, \dot{x}, t) dt$$

이 적분을 시스템의 작용 옥은 Action 이라고 정의하며 적분안의 라그랑지안은 경로에 따라 그 값이 달라지는 경로의 함수이다. 이를 최소 작용 원리, 혹은 해밀턴의 원리라고 한다.

Euler-Lagrange 방정식

방정식

$$ S \equiv \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(x, \dot{x}, t) dt$$

에 대하여 어떤 특정한 경로 가 위 적분 값을 가장 작게 만든다고 가정할 때, 그러한 경로를 만족시키는 미분방정식은

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} – \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right ) = 0$$

Memorize

$\mathcal{L}$ 을 $x$로 미분후 $\dot{x}$ 미분의 시간에 대한 미분을 뺸다.

Proof

Let $x(t)$ as follows

$$ x(\alpha, t) = x(t) + \alpha \eta(t)$$

where $\alpha$ is a parameter when it is 0, $x(t)$ is the minimum phase such as $x(\alpha, t) = x(t)$, $\eta(t)$ is a differentiable function w,r,t time t, that is 0 at end of time , such that $\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0$

$\alpha = 0$ 일때 최소값을 가진다면, 모든 임의의 함수에 대하여 다으므이 필요조건이 만족된다.

$$ \frac{\partial S}{\partial \alpha} |_{\alpha=0} = 0$$

$\alpha$의 미분값은

$$ \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d \mathcal{L}}{d \alpha} dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \alpha } + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\frac{\partial \dot{x}}{\partial \alpha} \right ) dt$$

여기에서

$$ \frac{\partial x}{\partial \alpha} = \eta, \;\; \frac{dx}{dt} = \frac{\partial x}{\partial t} + \alpha \frac{\partial \eta}{\partial t} \Rightarrow \frac{d}{d \alpha}\left( \frac{dx}{dt} \right)= \frac{\partial \eta}{\partial t}$$

이므로

$$ \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}\eta + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\frac{\partial \eta}{\partial t} \right ) dt$$

또한 부분적분에서

$$ \int \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\frac{\partial \eta}{\partial t} dt = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \eta – \int \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) \eta dt$$

$$ \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}\eta \right ) dt + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \eta |^{t=t_2}_{t=t_1} – \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) \eta dt$$

이때 중간 항 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \eta |^{t=t_2}_{t=t_1} $ (i.e. \eta(t_0) = \eta(t_1) = 0) $ 이므로 이를 정리하면

$$ \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}\eta \right ) dt – \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) \eta dt = 0$$

Q.E.D.

Largrange 운동 방정식

전체 운동 에너지를 $\mathcal{L}$ 라고 하고 일반화된 좌표계 위에서의 힘을 $Q_0$ 라고 하면

Lagrange 운동 방정식

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} – \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right ) = Q_0$$

보존계의 Largrange 운동 방정식

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} – \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right ) = 0$$

이때, 만일 보존계의 운동 에너지가 $\mathcal{L} = F + \lambda \dot{x}$ 이라고 하면 보존계의 Largrange 운동 방정식에 의해

$$ \begin{align*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \equiv \lambda \;\;\;\;&: \;\;\;\; \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial F}{\partial \dot{x}} (x,t) + \lambda \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \dot{\lambda} \;\;\;\;&: \;\;\;\; \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} – \frac{d \lambda}{dt} = 0 \end{align*}$$

(위에서 $\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} (x,t) = 0 $)

Note

위 공상태 방정식을 기업하는 방법은 Dot 가 어디에 붙어 있는 가 이다.

Hamiltonian 운동 방정식

Largrangian $\mathcal{L}(x, \dot{x}, t)$ 의 전미분이 다음과 같을 때 (그리고 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} – \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)) = 0$

$$ d\mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} dx + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} d{\dot{x}} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt$$

그런데, Largrangian 운동 방정식에서 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\lambda$ (Largrangian에서 Largange Multiplier는 보통 dx/dt=0 제한조건에서 ) $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}= \dot{\lambda}$ (Largrangian 운동 방정식에서 자연스럽게 유도) 이므로

$$ d\mathcal{L} = \dot{\lambda} dx + \lambda d{\dot{x}} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt$$

위 식에 다음을 대입한다.

$$ \lambda d\dot{x} = d(\lambda \dot{x}) – \dot{x} d\lambda$$

그러면

$$ \begin{align*} d\mathcal{L} &= \dot{\lambda} dx + d(\lambda \dot{x}) – \dot{x} d\lambda + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt \\ d(\lambda \dot{x} -\mathcal{L}) &= -\dot{\lambda} dx + \dot{x} d\lambda – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt \end{align*}$$

여기에서 Hamiltonian 을 다음과 같이 정의한다.

$$ H = \lambda \dot{x} -\mathcal{L}$$

이렇게 정의하면 위 Hamiltonian 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ dH = -\dot{\lambda} dx + \dot{x} d\lambda – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt$$

Note

살펴보면 Hamiltonian $H$ 와 적분 경로 $\mathcal{L}$ 은 서로 부호가 반대이다.
이 반대 부호 때문에 공상태 방정식에 있어서 부호가 반대로 나타나는 경우가 발생한다.
(적분 경로에 대해서는 부호가 동일하였다)

Hamiltonian 운동 방정식 해석

Largrangian Multiplier 와 Hamiltonian

Hamiltonian $H = \lambda \dot{x} -\mathcal{L}$ 에서

1. Largrangian Multiplier 에 대하여 Hamiltonian을 미분한 경우
2. 상태 변수 $x$ 에 대하여 Hamiltonian을 미분한 경우
   를 각각 살펴보자.

1의 경우는 다음과 같다. (매우 쉽다)

$$ \frac{\partial H}{\partial \lambda} = \dot{x}$$

2의 경우는 다음과 같다. 다음과 같이 유도된다.

$$ \frac{\partial H}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\lambda \dot{x}) – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}$$

여기서 우변의 첫항은

$$ \frac{\partial}{\partial x}(\lambda \dot{x}) = \lambda \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} = \lambda \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} = \lambda \frac{\partial }{\partial t} \frac{\partial x}{\partial x} = 0$$

우변의 두번쨰 항은

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \dot{\lambda}$$

그러므로 다음과 같다.

$$ \frac{\partial H}{\partial x} = – \dot{\lambda}$$

이를 공상태 방정식 이라 한다.

Hamiltonian과 Lagrangian 의 차이

결론적으로 보면 일반적인 Largrangian에 추가로 시간에 따른 상태 변화 (시간에 따른 상태의 1계 미분) 에 대한 추가적인 Largrangian 이 붙은 것으로 볼 수 있다.

즉, 다음과 같다.

$$ H = \lambda \dot{x} – \mathcal{L}$$

그런데 보존계의 운동 에너지가

$$ \mathcal{L} = F + \lambda \cdot \dot{x}$$

로 주어지면 이는 $H = F$이 된다. 다시말해, Hamiltonian은 보존계의 어떤 에너지가 되어 버린다.

만일, 시간에 따른 상태 변화가 없는 정상 상태가 된다고 가정하면 ($\dot{x} = 0$) Hamiltonian은 자연스럽게 Largrangian의 운동 에너지가 된다. 그런데, Largrangain 이 well defined 되어 있다고 가정하면, 여기에 상태 변화에 따른 Largrangian Multiplier가 추가된 것으로 볼 수 있다.

그러므로 만일, Largrangian이 well defined 되어 어떤 상태 변화에 대한 제한 조건이 잡혀 있지 않는 상태라고 가정하고
상태 변화에 대한 항만 추가 되면 이것이 Hamiltonian 이 되는 것이다.

이러한 생각을 기반으로 최적 제어 분야에서 Hamiltonian이 적용 된다. (Hamiltonian과 제어 이론)

Note

정리하면 일반적인 보존계 에너지에 상태변화에 대한 등식 제한 조건이 추가되면 Hamiltonian 이다.

Hamiltonian과 제어 이론

상태 방정식이 상태 $x(t)$와 제어 입력 $u(t)$ 그리고 시간 $t$에 의해 다음과 같이 정의된다고 가정하자.

$$ \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t)$$

이때 Admissable trajectory $x^*$ 가 있어 다음의 Performance Measure를 최소화 시킨다고 가정하자.

$$ J(u) = h(x(t_f), t_f) + \int^{t_f}_{t_0} g(x(t), u(t), t) dt$$

이와 관련한 Hamiltonian을 유도하는 과정은 다음을 참조한다.¹

하지만, 지금까지의 논의를 생각해본다면, 보존계의 에너지를 $g(x(t), u(t), t)$ (왜냐하면 이 값을 최소화 시켜야 하므로) 로 놓고 시간에 따른 상태 변화를 등식 제한조건으로 놓으면 다음과 같이 Hamiltoian을 정의 할 수 있다

$$ \mathcal{H}(x(t),u(t),\lambda, t) = g(x(t), u(t), t) + \lambda f(x(t),u(t), t)$$

이때 Hamiltonian $\mathcal{H}$의 최적 제어는 다음의 3 조건에서 유도된다.

상태 방정식 조건

$$ \dot{x}^*(t)=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}(x(t),u(t),\lambda, t) \\$$

공상태 방정식 조건

$$ \dot{\lambda}^*(t) = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}(x(t),u(t),\lambda, t)$$

최적 제어조건

$$ 0 = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u}(x(t),u(t),\lambda, t)$$

Hamiltonian 운동방정식과의 비교

동일하다. 단, 입력 u 에 대한 항이 더 추가 되었다.

1. 상태 방정식 조건

   $$ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda}$$

2. 공상태 방정식 조건

   $$ \dot{\lambda} = – \frac{\partial H}{\partial x}$$

해당 이론은 최종적으로 Pontryagins’s minimum (maximum) Principle 를 통해 완성된다.

Note

항상 기억하자 공상태 방정식 – 상태 방정식과 Dot의 위치는 그대로 있고 편미분의 분모가 $x$ 냐 $\lambda$ 냐에 따라 달라진다.
기본의 상태방정식이다.
Hamiltonian 공상태 방정식은 마이너스 부호가 더 붙는다.
보존계 상태방정식은 $\dot{x}$ 로 편미분하는 것이며 이때 그 결과인 $\lambda$는 당연하게도 dot가 붙지 않는다. 이는 Hamiltonian에서도 동일하다.

Pontryagins’s minimum (maximum) Principle

최적 제어는 반드시, Hamiltonian을 최소 (혹은 최대) 로 만드는 것이다. ** 다시말해 다음의 조건을 만족해야 한다.

Minimum Principle

$$ \mathcal{H}(x^*(t), u^*(t), \lambda^*, t) \leq \mathcal{H}(x^*(t), u(t), \lambda^*, t)$$

상태와 Largrangian multiplier가 최적이라 하더라도 입력이 최소값을 만들 수 있어야 한다.

Maximum Principle

$$ \mathcal{H}(x^*(t), u^*(t), \lambda^*, t) \geq \mathcal{H}(x^*(t), u(t), \lambda^*, t)$$

어떤 효용을 극대회 시키는 것으로 해석할때 이렇게 된다.

Note

결론적으로

$$ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u} = 0$$

이어야 한다는 의미이다. 그런데 이는 Necessary Condition이기 때문에 극대와 극소를 모두 포함한다.

그러므로 Pontryagins’s minimum (maximum) Principle 에 의해 최소(최대)화 시키는 제어는 반드시 그렇지 않은 제어값보다 작거나(크거나) 해야 하는 것이다.

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