Riemannian Geometry (Geodesic)

Geodesic Flow

$M$ will be a Riemannian manifold, together with its Riemannian connection.

Definition : Geodesic

A parameterized curve $\gamma:I \rightarrow M$ is a geodesic at $t_0 \in I$, if

$$
\frac{D}{dt}\left( \frac{d \gamma}{dt}\right) = 0 \;\;\;\text{at the point } t_0$$

즉, 시간에 따른 Parametrized curve의 변화량이 일정할때 such that $\gamma(t, \cdot) = t \cdot h(\cdot)$ 이것의 시간의 Covariant Derivation 이 0 이면 Geodesic

• If $\gamma:I \rightarrow M$ is a geodesic, then

  $$
  \frac{D}{dt} \langle \frac{d \gamma}{dt}, \frac{d \gamma}{dt} \rangle = 2 \langle \frac{D}{dt} \frac{d \gamma}{dt}, \frac{d \gamma}{dt}\rangle = 0$$

간단히 생각하면 $\frac{d \gamma}{dt} = c \neq 0 $ 이어서 거리가

$$
s(t) = \int_{t_0}^t \left| \frac{d \gamma}{ds} \right| ds = c(t – t_0)$$

그런데, 이것은 Differential 1-form 으로도 계산 가능하다.

A parameterized curve $\gamma$ 가 Coordinate system $(U, x)$ about $\gamma(t_0)$ 근방에 다음과 같이 정의되었다고 가정하자.

$$
\gamma(t) = (x_1(t), \cdots x_n(t))$$

Geodesic이 되려면 $V = \sum_i v^i X_i$ 에서

$$
\frac{DV}{dt} = \sum_k \left( \frac{dv^k}{dt} + \sum_{i,j} v^j \frac{dx_i}{dt} \Gamma_{ij}^k \right)X_k$$

이므로 $\frac{d\gamma}{dt} = \sum_i \frac{dx_i}{dt} X_i$, where $X_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$ 에서

$$
0 = \frac{D}{dt} \frac{d\gamma}{dt} = \sum_k \left( \frac{d^2 x_k}{dt} + \sum_{i,j} \frac{dx_i}{dt} \frac{dx_j}{dt} \Gamma_{ij}^k \right) X_k$$

따라서 Geodesic 조건은

$$
\frac{d^2 x_k}{dt} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^k \frac{dx_i}{dt} \frac{dx_j}{dt} = 0$$

Tangent Bundle $TM$

Tangent Bundle $TM$ 은 $(q, v), q \in M, v \in T_q M$ 을 의미. 즉, 각 점 $q$에 해당하는 Tangent vector $v$로 정의되는 Tangent Vector들의 모임이다.
이런 것을 도입하는 이유는 Geodesic위의 일반적인 법칙을 세우기에 Tangent Bundle의 개념이 편리하기 때문이다.
Tangent Bundle이 도입되면 Geodesic위의 임의의 Tangent space에서 세워진 법칙은 다은 Tangent Space에서도 동일하게 적용될 것이다. (좌표변환에도 불구하고..)

• Tangent Space $T_q M$ 은 $t \rightarrow \gamma(t)$ 로 결정
• Tangent Bundle $TM$ 은 $t \rightarrow (\gamma(t), \frac{d\gamma}{dt}(t))$ 로 결정. 따라서 Geodesic에서

  $$
  \begin{cases}
  \frac{dx_k}{dt} &= y_k \\
  \frac{dy_k}{dt} &= -\sum_{i,j} \Gamma_{i,j}^k y_i y_j
  \end{cases}$$

Definition : flow

The mapping $\varphi_t:V_0 \rightarrow V$ given by $\varphi_t(q) = \varphi(t,q)$ 를 the flow of $X$ on $V$ 라고 한다.

• There exist a unique vector field $G$ on $TM$ whose trajectories are of the form $t \rightarrow (\gamma(t), \gamma(t)’)$, where $\gamma$ is a geodesic on $M$
• 위와 같은 Vector Field를 Geodesic Vector field 그리고 그것의 flow를 Geodesic flow on $TM$ 이라고 한다.
• Homogeneity of Geodesic

  $$
  \gamma(t, q, av) = \gamma(at, q, v)$$

Exponential map (on $\mathcal{U}$)

Let $p \in M$ and let $\mathcal{U} \subset TM$ be an open set given by Proposition 2.7 (p 64). Then the map $\exp: \mathcal{U} \rightarrow M$ given by

$$
\exp (q,v) = \gamma(1, q, v) = \gamma(|v|, q, \frac{v}{|v|}) , \;\; (q,v) \in \mathcal{U}$$

• 특징

  $$
  \exp_q : B_{\varepsilon}(0) \subset T_qM \rightarrow M$$

  by $\exp_q(v) = \exp(q,v)$

Proposition

Given $q \in M$, there exists an $\varepsilon > 0$ such that $\exp_q : B_{\varepsilon} (0) \subset T_q M \rightarrow M$ is a diffeomorphism of $B_{\varepsilon}(0)$ onto an open subset of $M$

$$
\begin{align}
d(\exp_q)_o(v) &= \frac{d}{dt}(\exp_q (tv))|_{t=0} = \frac{d}{dt}(\gamma(1, q, tv))|_{t=0} &\;\;\; \text{by definition of exponential map} \\
&= \frac{d}{dt}(\gamma(t, q, v))|_{t=0} = v &\;\;\;\text{by definition of exponential map}
\end{align}$$

Exponential Map의 시간에 대한 미분이 $v$ 이므로 이것은 $T_q M$을 만들기 위한 Parametrized Curve와 같다. 그러므로 Local Diffeomorphism.

Note

사실, 정의에 의해 어떤 점에서건 속도 벡터가 $\alpha$ 로 주어진 $\exp_q(\alpha)$의 Diffeomorphism $d\exp_q(\alpha) = \alpha$ 이다.
꼭 $t=0$ 가 아니어도 위, Proposition에 의해 모든 점에서 $B_{\varepsilon}(x) \subset T_q M$ 에서 성립한다.

Minimizing Properties of Geodesics

Definition : piecewise differentiable curve

piecewise differentiable curve is continuous mapping $c:[a,b] \rightarrow M$ of a closed interval $[a,b] \subset \mathbb{R}$ into $M$ satisfying thefollowing conditrion: there exists a partition $a = t_0< t_1 < \cdots < t_{k-1} < t_k = b$ of $[a, b]$ such that the restrictions $\left. c \right|{[t_i, t{i+1}]}, \; i=0, \cdots , k-1$ are differentiable.

• $\lim_{t \rightarrow t_i^+} c'(t)$ 와 $\lim_{t \rightarrow t_i^+} c'(t)$ 사이의 각도를 vetex angle 이라고 함

다음 그림 처럼 정의된다.

• Piecewise differentiable curve를 도입하는 이유는 Geodesic에 변화를 주었을 경우 Geodesic이 다양체 상의 두점을 잇는 최소 거리임을 증명하기 위함임
• 마치 Hamiltonian 증명돠 비슷하게 하기 위함

Definition

A segment of geodesic $\gamma:[a,b] \rightarrow M$ is called minimizing if $l(\gamma) \leq l(c)$

Definition

Let $A$ be a connected set in$\mathbb{R}^2$, $U \subset A \subset \bar{U}$, $U$ is open, such that the boundary $\partial A$ of $A$ is a piecewise differentiable curve with vertex angles different from $\pi$. A parametrized surface in $M$ is a differentiable mapping $s: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow M$

• Vector field $V$ along $s$ is a mapping which associates to each $q \in A$, a vector $V(q) \in T_s(q)M$
• $V(q) = (ds \frac{\partial}{\partial u}, ds \frac{\partial}{\partial v}) = (\frac{\partial s}{\partial u}, \frac{\partial s}{\partial v})$ is a velocity vector along $s$
• Covariant Derivative $\frac{D}{\partial u}(u,v)$ is also possible to be defined.

Lemma : Symmetry

If $M$ is a differentiable manifold with a symmetric connection and $s : A \rightarrow M$ is a parameterized surface then :

$$
\frac{D}{\partial v} \frac{\partial s}{\partial u} = \frac{D}{\partial u} \frac{\partial s}{\partial v}$$

Note : Tangent space to $T_p M$

For $v \in T_p M $ with $T_p M $ itself. wmr, Tangent Space 자체에 대한 Tangent Space (실은 같은 공간이다.)에 대한 표현은 다음과 같다.

$$
T_pM \approx T_v(T_p M)$$

Lemma : Gauss

Let $p \in M$ and let $v \in T_p M$ such that $\exp_p v$ is defined. Let $w \in T_p M \approx T_v(T_p M).$ Then

$$
\langle (d \exp_p)_v (v), (d\exp_p)_v(w) \rangle = \langle v, w \rangle$$

Note

$$
d(exp_q)_o(v) = v$$

에서,

$$
\langle (d \exp_p)_o (v), (d\exp_p)_o(w) \rangle = \langle v, w \rangle$$

Set $\exp_p u$ is defined for

$$
u = t v(s), \;\; 0 \leq t \leq 1, \;\; -\varepsilon < s < \varepsilon$$

where $v(s)$ is a curve in $T_pM$ with $v(0) = v, v'(0)=w_N$ and Let $f(t,s)= \exp_p tv(s)$ then

$$
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial s} &= \frac{\partial }{\partial s} \exp_p tv(s) = (d\exp_p)_v (tv'(s))\\
\frac{\partial f}{\partial t} &= \frac{\partial }{\partial t} \exp_p tv(s) = (d\exp_p)_v (v(s))
\end{align}$$

Sketch of Proof

먼저 $w = w_T + w_N$ 으로 놓으면 $w_T$는 Tangent Space 위에 있고 $v$에 평행이다. 그러므로

$$
\langle (d \exp_p)_v (v), (d\exp_p)_v(w_T) \rangle = \langle v, w_T \rangle$$

For $w = w_N$, 에서 Riemannian 계량이 0이면 증명 성립

$$
\langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle (1,0) = \langle (d\exp_p)_v(w_N), (d\exp_p)_v(v) \rangle$$

For all $(t,s)$,

$$
\frac{\partial}{\partial t} \langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = \langle \frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle + \langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial t} \rangle$$

여기서 $\frac{\partial f}{\partial t}$이 Geodesesic의 Tangent vector이기 때문에 이것의 Covariant Differential 은 0.
따라서,

$$
\langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = 0$$

Symmetry에 의해 첫번째 항은

$$
\langle \frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = \langle \frac{D}{\partial s} \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial s} \langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = 0 \;\;\; \because \langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = \text{constant}$$

그러므로

$$
\frac{\partial}{\partial t} \langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = 0$$

따라서 모든 $(t,s)$ 에 대하여 $\langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle$는 $s$의 함수이다. $s=0$의 값을 알기 위해 극한값을 취하면

$$
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\partial f}{\partial s}(t,0) = \lim_{t \rightarrow 0}(d\exp_p)_{tv} tw_N = 0$$

그러므로 $\langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle (1,0) = 0$ 따라서,

$$
\langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle (1,0) = \langle (d\exp_p)_v(w_N), (d\exp_p)_v(v) \rangle = \langle w_N,v \rangle = 0$$

Note

$\exp_p$ 가 the origin in $T_p M $ 근방 $V$의 Diffeormorphism 이면

• Normal Neighborhood : $\exp_p V = U$

만일 $B_{\varepsilon}(0)$ 가 $\bar{B_{\varepsilon}(0)} \subset V$

• Normal ball with center $p$ and radius $\varepsilon$ : $\exp_p B_{\varepsilon}(0) = B_{\varepsilon}(p)$
• Normal Sphere$S_{\varepsilon}(p)$ : Normal ball의 Bondary를 따라 $p$에서 시작된 Geodesic에 Orthogonal인 Hyper Plane

Proposition : Geodesic의 Length Minimize 특성

Let $p \in M$, $U$ a normal neighborhood of $p$, and $B \subset U$ a normal ball of center $p$.
Let $\gamma:[0,1] \rightarrow B$ be a geodesic segment with $\gamma(0) = p$.
If $c:[0,1] \rightarrow M$ is any piecewise differentiable curve joining $\gamma(0)$ to $\gamma(1)$,
then $l(\gamma) \geq l(c)$ and if equality holds then $\gamma([0,1]) = c([0,1])$

Note

맨 마지막 줄 $l(\gamma) \geq l(c)$ 이 이 명제의 의미. $\gamma$는 geodesic.

Sketch of proof

Set $t \rightarrow v(t)$ be a curve in $T_p M$ with $|v(t)| = 1$, and
$r:(0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ is a positive piecewise differentiable function, so that the curve $c(t)$ is that

$$
c(t) = \exp_p(r(t) \cdot v(t)) = f(r(t), t)$$

then

$$
\frac{dc}{dt} = \frac{\partial f}{\partial r}r'(t) + \frac{\partial f}{\partial t}$$

Gauss Lemma 에서 $\langle \frac{\partial f}{\partial r}, \frac{\partial f}{\partial t} \rangle = 0$, Since $\left| \frac{\partial f}{\partial t} \right| =0 $,

$$
\left| \frac{dc}{dt} \right|^2 = \left| r'(t) \right|^2 + \left| \frac{\partial f}{\partial t} \right|^2 \geq \left| r'(t) \right|^2$$

and so

$$
\int_{\varepsilon}^1 \left| \frac{dc}{dt} \right| dt \geq \int_{\varepsilon}^1 \left| r'(t) \right| dt \geq \int_{\varepsilon}^1 r'(t) dt = r(1) – r(\varepsilon)$$

위에서 $r(1) = l(\gamma)$ 이므로 $\varepsilon \rightarrow 0$ 에서 $l(c) \geq l(\gamma)$

• 일단 위에서 $l(c) > l(\gamma)$.
• $l(c) = l(\gamma)$ 의 경우는 $\left| \frac{\partial f}{\partial t} \right| = 0$ , 이 경우는 $v= const$ 그리고 $|r'(t)| = r(t) > 0$ 이어서 $c(t)$가 monotone reparametrizatioin of $\gamma$ 즉, $c([0,1]) = \gamma([0,1])$을 의미

Remark

임의의 $q_1, q_2 \in W$ 를 지나는 a unique minimizaing geodesic 이 존재한다는 것 such that $\gamma'(0) = v$

Theorem 3.7 : Normal Neighborhood

For any $p \in M$, there exist a nrighborhood $W$ of $p$ and a number $\delta > 0$, such that
$\forall q \in W$, $\exp_q$ is a diffeomorphism on $B_{\delta}(0) \subset T_q M$ and $\exp_q(B_\delta(0)) \supset W$,
that is, $W$ is a normal neighborhood of each of its points

• 즉 위의 그림 처럼 $p$의 근방에 속하는 $q$의 $T_q M$에 Open Ball $B_{\delta}(0) \subset T_p M$ 을 놓고 이것의 Exponential Map $\exp_q(B_\delta(0))$ 이 $p$의 Neighborhood를 포함할 수 있는 $p$의 Neighbor hood을 Normal Neighborhood 라고 한다.
• Normal Neighborhood가 되면 $p$를 중심으로 하는 Geodesic 혹은 $v$에 대한 미분에 대하여 $q$와의 관계를 알 수있게 되므로 미분을 보다 확장적으로 사용할 수 있게 된다.
• 예를 들어 $q_1, q_2$ 를 지나는 Geodesic의 Length가 $\delta$ 보다 작다면 There exists a unique$\; v \in T_{q_1} M$ that depends differetiably on $(q_1, q_2)$ such that $\gamma'(0)= v$.
  • 이것이 $p$의 근방 $W$에서 전반적으로 만족될 수 있다면 totally normal neighborhood of $p$.

Convex Neighborhoods

위에서 정의한 totally normal neighborhood of $p$ 가 $W$에서 존재하지 않을 수 있다, 왜냐하면 $M$의 모양에 따라 Convex가 아닐 수 있기 때문이다.

• 만일, $p$의 Neighborhood $W$가 Convex 이면 $W$ 내의 어떤 점을 잇는 $Geodesic$은 모두 $W$ 내에 존재하게 될 것이다.
  • 이것은 Euclidean Space에서의 Convex의 특성과 유사하다.

Lemma 4.1

$\forall p \in M, \exists c > 0$ such that any geodesic in $M$ that is tangent at $q \in M$ to the geodesic sphere $S_r(p)$ of radius $r < c$ stays out of the geodesic ball $B_r(p)$ for some neighborhood of $q$

Sketch of proof

Let $W$ be a totally normal neighborhood of $p$ 그러면 $q \in W$ 이다. 이떄 Tangent Bundle $T_1 W$를 다음과 같이 정의하자

$$
T_1 W = \{(q,v); q\in W, v \in T_q M, |v| =1 \}$$

Let $\gamma:I \times T_1W \rightarrow M, \; I= (-\varepsilon, \varepsilon)$ be the differentiable mapping such that $t \rightarrow \gamma(t,q,v)$ is the geodesic. $t=0$ 에서 $q$를 지나며 속도는 $v, |v|=1$ 이다.
Define $u(t,q,v) = \exp_p^{-1}(\gamma(t,q,v)))$ and

$$
F:I \times T_1 W \rightarrow \mathbb{R}, \;\;\; F(t,q,v) = | u(t,q,v) |^2$$

이때 , $F$는 the square of the distance from $p$ to a point that is moving along the geodesic $\gamma$ 이다.
즉, Geodesic은 $\gamma$ 하나 뿐이며 앞에서 살펴 보았듯이 $q$를 지나면서 어떤 Boundary에 접하고 있다.

그리고 $u(t,q,v)$ 자체는 하나의 위치를 가리키고 있으며 $u(t, q, v) = tv$ 이다.
여기서 $F$를 미분하면

$$
\begin{align}
\frac{\partial F}{\partial t} &= 2 \langle \frac{\partial u}{\partial t}, u \rangle \\
\frac{\partial^2 F}{\partial t^2} &= 2 \langle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}, u \rangle + 2 \left| \frac{\partial u}{\partial t} \right|^2
\end{align}$$

마지막으로 let $r > 0$ be chsoen so that

$$
\exp_p B_r(0)= B_r (p) \subset W$$

만일 Geodesic $\gamma$가 $S_r(p)$에 Tangent at $q=\gamma(0,q,v)$ 이면 Gauss Lemma에서

$$
\langle \frac{\partial u}{\partial t}, u \rangle (0, q, v) = 0$$

Since $\frac{\partial u}{\partial t} = \gamma’$ ($\gamma$가 $S_r(p)$에 Tangent 이므로) 가 $u (0, q, v) = v$ 이므로 ($q$ 점에서 속도 $v$로 나가기 떄문) 서로 Orthogonal 하다.

그러므로 $\frac{\partial F}{\partial t} (0, q, v) = 0$ 최소 $F$는 Constant 값이다. 또한 $r$이 충분히 작으면 $F$는 Minimum point이다. (이로서 증명은 완성)
다시 살펴보면, $u(t,p,v) = tv$ (즉, $p$에서 $q$점을 보게 되면 최소 $ tv$ 만큼의 거리가 나타난다.) 그러므로

$$
\frac{\partial^2 F}{\partial t^2} (0, p, v) = 2|v|^2 = 2$$

이는 there exists a neighborhood $V \subset W$ of $p$ such that $\frac{\partial^2 F}{\partial t^2} (0, p, v) > 0, \forall q \in V, \forall v \in T_p M, |v|=1$.
그러므로 $c>0$ 를 잡아서 다음과 같이 잡으면

$$
\exp_p B_c(0) \subset V$$

앞에서 증명한 바와 같이 any geodesic in $B_c(p)$ that is tangent to the geodesic sphere of radius $r < c$ at the point $\gamma(0, q, v)$ 는 a strict local minimum for $F$ at $(0, q, v)$이다. 이것은 $q$의 Neighborhood에 대하여 the points of $\gamma$가 $B_r(p)$에 있음을 의미한다.

Proposition 4.2 : Convex Neighborhood

For any $p \in M$ there exists a number $\beta > 0$ such that the geodesic ball $B_{\beta}(p)$ is strongly convex

Sketch of proof

다음과 같이 놓아 보자. choose $\delta > 0$ and $\beta <\delta < \frac{c}{2}$ . 그리고 $B_{\delta} (p)$ 안에 $q_1, q_2$ 가 있고 $B_{\delta} (p)$ 내부에 Geodesic이 있다고 하면. Strongly Convex 이다.
$q_1$을 중심으로 하는 Open Ball을 생각해보면 $2\delta < c$ 이므로 $B_{2\delta}(q_1) \subset W$ 이다 여기에는 $q_2, p$가 모두 포함된다. 따라서 Normal Neighborhood이다. 또한 Lemma 4.1도 만족된다. 또한 W에 모두 포함되므로 Strongly Convex 이다.

만일, $B_{\beta}(p)$ 외부에 그림의 붉은선 처럼 Geodesic이 존재한다고 하면 위에서 보듯이 $W = B_c(p)$ 내부에 여전히 Geodesic이 존재하기 때문에 Lemma 4.1을 위배한다. 고로 증명 끝.

Exponential Maps and Log Maps

• Let $v \in T_p M$ be a vector on the tangent plane to $M$ at $p \in M$ and $v \neq 0$.
• $\gamma_p^v$ be the geodesic that pass through point $p$ (a.k.a. the base point) in the direction of $v$.
• The Riemannian Exponential map of $v$ at base point $p$, denoted by $\exp_p(v)$, maps $v$ to the point, say $x$, on $M$ along the geodesic at distance $v$ from $p$, i.e.

  $$
  x = Exp_p(v).$$

• Note that the Exponential map preserves the geodesic distance from the base point to the mapped point, i.e.

  $$
  d(p, x) = d(p, Exp_p(v)) = \| v \| = \| Log_p (x) \|$$

  The Riemannian Log map is the inverse of Riemannian Exponential map, i.e.

  $$
  v = Log_p (x).$$

Properties of Log Maps

Gradient of Log maps

$$
\nabla_x d(p,x)^2 = -2 Log_p(x) \;\;\text{for}\; x \in V(p)$$

proof
$p, x \in T_p M$ 이고 Geodesic의 $T_p M$ 은 Euclidean Space 이기 때문에

$$
\nabla_x d(p,x)^2 = – 2 d(p,x) = -2 Log_p(x)$$

Least Square Estimation

For $(p,v) \in TM$, Define the sum of suared error of the data from the geodesic given by $(p,v)$ as

$$
E(p,v) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N d(\exp(p, x_i v), y_i)^2$$

the gradient of the sum-of-squares energy is

$$
\begin{align}
\nabla_p E(p,v) &= – \sum_{i=1}^N d_p \exp(p, x_i v)^T Log(\exp(p, x_i v), y_i) \\
\nabla_v E(p,v) &= – \sum_{i=1}^N x_i d_v \exp(p, x_i v)^T Log(\exp(p, x_i v), y_i)
\end{align}$$

Intrinsic Average and Weighted Intrinsic Average

Intrinsic average

• The intrinsic average of the N points ${x_1, x_2, · · · , x_N}$ lying on a Riemannian manifold $M$ is defined as

  $$
  \bar{x} = \text{IntrinsicAvg} (x_1; x_2; · · · ; x_N) = \arg \min_{x \in M} \sum_{i=1}^N d(x, x_i)^2$$

• Iterative gradient-descent method to solve the aforementioned minimization problem (by Pennec[1])
  first proposed an

  $$
  x_{j+1} = Exp_{\bar{x}_j} \left( \frac{\tau}{N} \sum_{i=1}^N Log_{\bar{x}_j} (x_i) \right)$$

  where $\tau$ is the step size.

• The uniqueness of the solution can be guaranteed when the data are well localized.

Weighted Intrinsic Average

• Let $w_i$ be the weight value of $x_i$, $w_i \geq 0,\; 1 \leq i \leq N$ .
• For $x = \text{WIntrinsicAvg}(w_1, x_1;w_2, x_2; · · · ;w_N, x_N)$, The Weighted Intrinsic Average can be computed using the following iteration equation:

$$
\bar{x}_{j+1} = Exp_{\bar{x}_j} \left( \frac{\tau}{\sum_{i=1}^N w_i} \sum_{i=1}^N w_i \cdot Log_{\bar{x}_j} (x_i) \right)$$

Example : SOM on Riemannian manifold

• Euclidean Space에서의 SOM Learning Equation

  $$
  w_{t+1} = w_{t} + \alpha(t) \cdot h_{C(x(t)),i}(t) \cdot (x(t) – w_i (t))$$

• Riemannian Manifold에서의 SOM Learning Equation

  $$
  w_{t+1} = \exp_{w_i(t)} \left( \alpha(t) \cdot h_{C(x(t)),i}(t) \cdot Log_{w_i(t)} (x(t))\right)$$

  • Step 1: Riemannian Log Map을 사용하여 Tangent Space에서의 $x(t), w_i(t) \in M$의 거리를 계산한다.
  • Step 2: Tangent Space에서 $\Delta = \alpha(t) \cdot h_{C(x(t)),i}(t) \cdot Log_{w_i(t)} (x(t))$를 계산한다.
  • Step 3: Exponential Map을 사용하여 Tangent Space위에서 계산된 $\Delta$ 를 Exponential Map을 통해 Riemanisn Manifold $M$위로 가져온다.

여기서 보면 $\exp_{w_i(t)}$ 에서 이전 시간의 weight를 중심으로 Exponential Mapping을 수행하므로 Eiclidena Space에서 차분 방정식의 역할이 Embedded 되어 있음을 알 수 있다.