DifferentialGeometryFirstPhase

Affine Connections: Riemannian Connections

Introduction

• Surface $S \subset \mathbb{R}^3$
• Parameterized Curve : $c:I \rightarrow S$
• Vector field along $c$ tangent to $S$ : $V : I \rightarrow \mathbb{R}^3$

이때, vector $\frac{dV}{dt}(t), t \in I$ 는 일반적으로 Tangent Space $T_{c(t)}S$ 에 존재하지 않는다.
그래서 $\frac{dV}{dt}(t), t \in I$ 가 Tangent Space $T_{c(t)}S$ 존재하도록, Tangent Space $T_{c(t)}S$에 Orthogonal Projection된 미분이 필요하다. 그것이 Covariant Derivative 이다.

$$\frac{DV}{dt}$$

• Covariant Derivative는 First Fundamental form of $S$ 에 의존적이다.
• Covariant Derivative는 속도벡터 $c$의 미분으로서 Surface $S$ 위의 $c$ 의 가속도 이다.
• 가속도 = 0 일때는 * Geodesic of $S$*, 그리고 Gasussian Curvature of $S$ 는 Covariant Derivative로 표현된다.

공변미분
Vector field along $c$ is parallel if

$$\frac{DV}{dt} = 0$$

즉, 곡면위의 곡선의 평행은 이것으로 정의되며 여기에서 공변미분이 탄생하였다.

Affine Connection

공변 미분 의미로서 선형에서는 단순 미분을 의미한다.
* The set if all vector fields of class $C^{\infty}$ on $M$ : $\mathcal{X}(M)$
* The ring of real-valued functions of class $C^{\infty}$ on $M$ : $\mathcal{D}(M)$

Definition : Affine Connection

An Affine connection $\nabla$ on a differentiable manifold $M$ is a mapping

$$\nabla : \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \rightarrow \mathcal{X}(M)$$

which is denoted by

$$(X, Y) \overset{\nabla}{\rightarrow} \nabla_X Y$$

그리고 다음의 선형적 특징을 가진다.

$$\begin{align*} \nabla_{fX+gY}Z &= f \nabla_X Z + g \nabla_Y Z \\ \nabla_X(Y+Z) &= \nabla_X Y + \nabla_X Z \\ \nabla_X(fY) &= f \nabla_X Y + Xf \cdot Y \end{align*}$$

in which $X, Y, Z \in \mathcal{X}(M)$ and $f,g, \in \mathcal{D}(M)$.

Proposition : The Covariant Derivative

Let $M$ be a differentiable manifold with an affine connection, there exists a unique correspondence which associates to a vector field $V$ along the differentiable curve $c:I \rightarrow S$ another vector field $\frac{DV}{dt}$ along $c$, called the covariant derivative of $V$ along $c$, such that

$$\begin{align*} \frac{D}{dt}(V+W) &= \frac{DV}{dt} + \frac{DW}{dt} \\ \frac{D}{dt}(fV) &= \frac{df}{dt}V + f \frac{DV}{dt} \end{align*}$$

where $W$ is a vector field along $c$ and $f$ is a differentiable function on $I$.
In addition, if $V$ is induced by a vector field $Y \in \mathcal{X}(M)$, i.e. $V(t)=Y(c(t))$, then

$$\frac{DV}{dt} = \nabla_{\frac{dc}{dt}}Y$$

Remark 1

Choosing a system of coordinates $(x_1, \cdots x_n)$ about $p$ and writing

$$X = \sum_i x_i X_i, \;\;\; Y=\sum_j y_j Y_j$$

where

$$X_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$$

then

$$\nabla_X Y = \nabla_{X} (\sum_j y_j X_j) = \sum_i x_i \nabla_{X_i} (\sum_j y_j X_j) = \sum_i x_i \left( \sum_j (X_i(y_j) X_j + y_j \nabla_{X_i}X_j) \right )$$

이때 다음과 같이 The Notation (Christoffel 기호)를 정의하자.

$$\nabla_{X_i}X_j = \sum_k \Gamma_{ij}^k X_k$$

그리고

$$\sum_i \sum_j x_i X_i(y_j)X_j = \sum_j X(y_j) X_j = \sum_k X(y_k) X_k$$

로 놓을 수 있으므로

$$\sum_i \sum_j x_i X_i(y_j)X_j + \sum_i \sum_j x_i y_j \nabla_{X_i}X_j = \sum_k \left(\sum_{ij}x_iy_j\Gamma_{ij}^k + X(y_k) \right )X_k$$

그러므로

$$\nabla_X Y = \sum_k \left(\sum_{ij}x_iy_j\Gamma_{ij}^k + X(y_k) \right )X_k$$

Remind 1
Christoffel 기호

$$\nabla_{X_i}X_j = \sum_k \Gamma_{ij}^k X_k$$

Remind 2: Affine Connection

$$\nabla_X Y = \sum_k \left(\sum_{ij}x_iy_j\Gamma_{ij}^k + X(y_k) \right )X_k$$

Consider 1
* Chrisoffel 기호를 살펴보면 Orthonal Vector $X_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$ 사이의 Affine Connection 결과는 0 이 아닌, 어떤 Vector로 나타난다는 의미가 된다.
* $\Gamma_{ij}^k$ 의 의미를 살펴보면 $i, j$ 에서 Matrix 그리고 $k$에서 Matrix에 대하여 1차원이 더 부가된 값이라는 것을 알 수 있다.
* 즉, $\sum_{ij} x_i \Gamma_{ij}^k y_j$ 의 형태가 된다. 따라서 벡터 x Matrix x 벡터이고 Matrix에 대한 index가 k인 것이다.
* 그러므로 Christoffel 기호 자체의 정의로는 해당되는 값을 전혀 구할 수 없는 하나의 정의에 지나지 않으며, 이것을 구하기 위해서는 별도의 해를 따로 구하거나, $Xf$ 에 대한 어떤 정의를 구한 후 이의 역관계를 통하여 구하는 수 밖에 없다.
* 그래서 Christoffel 기호의 값은 이후 $g_{ij}^m$을 정의한 후에나 구해질 수 있다.
* 혹은 굳이 값을 구하고자 한다면, Covariant Derivation을 구한 후, 이 값과 Affine Connection의 정의 혹은 일반적인 Covariant Derivation의 정의를 통해 역으로 구해야 한다.

Remind 3
When $X_j = X_j(c(t))$ then

$$\frac{DX_j}{dt} = \nabla_{\frac{dc}{dt}}X_j$$

여기에서

$$\frac{dc}{dt} = \sum_i\frac{dx_i}{dt}X_i$$

이는 결국 Covariant Derivative의 핵심 개념이자 미분기하학의 출발선이다.

Sketch of Proposition : The Covariant Derivative $\frac{DV}{dt} = \nabla_{\frac{dc}{dt}}Y$ where $V(t)=Y(c(t))$

Suppose that

$$V=\sum_j v^j X_j, \;\;\; v^j =v^j(t), \;\;\; X_j = X_j(c(t))$$

Let

$$\frac{DV}{dt} = \frac{D}{dt}(\sum_j v^j X_j)=\sum_j \frac{dv^j}{dt}X_j + \sum_j v^j \frac{DX_j}{dt}$$

By remind 3,

$$\frac{DX_j}{dt} = \nabla_{\frac{dc}{dt}}X_j= \nabla_{\sum_i \frac{dx_i}{dt} X_i }X_j=\sum_i \frac{dx_i}{dt} \nabla_{X_i}X_j = \sum_i \frac{dx_i}{dt} \sum_k \Gamma_{ij}^k X_k$$

그러므로

$$\frac{DV}{dt} =\sum_j \frac{dv^j}{dt}X_j + \sum_{ij} \frac{dx_i}{dt} v^j \nabla_{X_i}X_j$$

이를 통해 Covariant Derivative $\frac{DV}{dt} = \nabla_{\frac{dc}{dt}}Y$ 는
1. $V$ 계수에 대한 시간에 대한 미분
2. $X$ 에 대한 시간에 대한 공변미분

으로 curve $c(I)$의 tangent vector에 대한 공변미분이 유도된다.

Definition : Parallelism

Let $M$ be a differentiable manifold with an affine connection. A vector field $V$ along a curve $c:I \rightarrow S$ is called parallel when

$$\frac{DV}{dt}=0, \;\;\; \forall t \in I$$

당연하다. 공변미분의 값이 0 이므로 Vector Field V의 변화가 없다. $c(t)$의 각 점에서 고로 $V$는 $c(t)$의 각 좀에서 평행하다.

Proposition : The Parallel transportation

Let $M$ be a differentiable manifold with an affine connection. Let $c:I \rightarrow S$ is a differential curve in $M$ and let $V_0$ be a tangent vector to $M$ at $c(t_0), \; t_0 \in I$ i.e. $V_0 \in T_{c(T_0)}M$. Then there exists a unique parallel vector field $V$ along $c$, such that $V(t_0)=V_0$

* Sketch of Proof*
Proposition에 대한 증명은 앞에서 구한

$$\frac{DV}{dt} =\sum_j \frac{dv^j}{dt}X_j + \sum_{ij} \frac{dx_i}{dt} v^j \nabla_{X_i}X_j$$

과 Parallelism의 정의를 통해 증명이 된다. 즉,
The curve $c(I)$ is contained in a coordinate neighborhood $x(U)$ of a system of coordinates $x : U \subset \mathbb{R}^n$ 로 커브 $c(I)$가 정의되어서

$$x^{-1}(c(t))=(x_1(t), \cdots x_n(t))$$

로 표시 가능하면

$$V_0 = \sum_j v_0^j X_j,\;\;\; x_j = \frac{\partial}{\partial x_j}(c(t))$$

이다. 따라서

$$0 = \frac{DV}{dt} =\sum_j \frac{dv^j}{dt}X_j + \sum_{ij} \frac{dx_i}{dt} v^j \nabla_{X_i}X_j$$

이므로

$$\frac{DV}{dt} =\sum_k \left( \frac{dv^k}{dt} + \sum_{ij} v^j \frac{dx_i}{dt} \Gamma_{ij}^k \right)X_k = 0$$

에서

$$\frac{dv^k}{dt} + \sum_{ij} v^j \frac{dx_i}{dt} \Gamma_{ij}^k = 0$$

이어야 한다. 이것이 parallel transportation의 조건이며 uniqueness는 initial condition $v^k(t_0) = v_0^k$ 로 놓음에 의하여 이러한 조건을 만족하는 $V$가 존재하면 이것은 unique 함이 증명된다.