RiemannGeometry : Isometric Immersion

Riemannian Geometry 상에서의 알고리즘 개발에서는 Isometric Immersion과 Complete Manifold가 더 중요할 것으로 판단된다.

• Isometric Immersion 은 Riemannian Metric이 보존되는 조건을 가지는 Manifold (의 Construction)
• Complete Manifold 는 알고리즘이 Convcerge 할 수 있는 Manifold의 조건이라는 측면에서 중요하다.
• Variations of Energy 는 Geodesic이 최소 Enegy를 따라간다는 것에 대한 증명일 뿐이다.
  • First Formulation과 Second Formulation으로 증명되는 것이다.
  • Hamiltonian 증명과 유사하다.

Let $f:M \rightarrow \bar{M}$ be a differentiable immersion of a manifold $M$ of dimension $n$ into a Riemmanian manifold $\bar{M}$ of dimension equal to $k = n+m$.

• Riemmanian metric for Isometric Immersion
  If $v_1, v_2 \in T_p M$, $\langle v_1, v_2 \rangle = \langle df_p(v_1), df_p(v_2) \rangle $ … $f$가 $\mathbb{R}$ 로의 함수가 아닌 Manifold로의 함수이므로 $df$는 Scalar가 아닌 Vector field 이다.

이떄, $f$는 $M$ 에서 $\bar{M}$으로의 Isometric Immersion 이라 한다.

• $\mathbb{R}^3$ 에서 $S$에 대한 고찰에서 비롯됨. 즉,

$$
\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3; z = f(x,y) \}, \;\;\; f(0,0)=0, \;f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$

에 대한 고찰, 결국 $S$의 Tangent Space는 $(x,y)$의 Tangent Plane.

• The behavior of $S$ in a neighborhood of the origin $0 \in \mathbb{R}^3$ is strongly influenced by the Quadratic Form
• The Second Fundamental form of $S$ :

$$
\Pi (x,y) =f_{xx}(0)x^2 + 2f_{xy}(0)xy + f_{yy}(0)y^2$$

이에 대한 Gaussian Curvature는

$$
K = f_{xx}f_{yy} – f^2{xy}$$

여기에서 출발한다.

The Second Fundamental Form

Let $f:M^n \rightarrow \bar{M}^{n+m=k}$ be an immersion. Then
for each $p \in M$, $\exists U \subset M$ of $p$ ($U$ : Neighborhood) such that $f(U) \subset \bar{M}$ is a submanifold of $\bar{M}$.
i.e. there exist a neighborhood $\bar{U} \subset \bar{M}$ of $f(p)$ and a diffeomorphism $\varphi: \bar{U} \rightarrow V \subset \mathbb{R}^k$. such that $\varphi$ maps $f(U) \cap \bar{U}$ diffeomorphically onto an openset of subspace of $\mathbb{R}^n \subset \mathbb{R}^k$.

• $v \in T_q M, \; q \in U$, with $df_q(v) \in T_{f(q)} \bar{M}$.
• 즉, Local vector field on $M$을 Local vector field $\bar{M}$ 로 보낸다고 생각한다.

• Main Idea

$$
T_p \bar{M} = T_p M \oplus (T_p M)^{\perp}$$

• 즉, $T_p \bar{M}$ 은 $T_p M$ 보다 더 크고 $T_p M$에 Orthogonal Space가 덧붙여짅 것이다. 고로 $f:M^n \rightarrow \bar{M}^{n+m=k}$은 $T_p M$을 더 확장 시키는 … 그런 것으로 보면 된다.
• 고로 $v \in T_p \bar{M}, \; p \in M$에 대하여

$$
v = v^T + v^N, \;\; v^T \in T_p M, \;\; v^N \in (T_p M)^{\perp}$$

• Riemmanian Connection on $\bar{M}$
  For local vector fields $X, Y \in M$, and $\bar{X}, \bar{Y} \in \bar{M}$. define

  $$
  \nabla_X Y = (\bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{Y} )^T$$

• Let $B(X,Y)$ is local vector field on $\bar{M}$ normal to $M$ such that

$$
B(X,Y) = \bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{Y} – \nabla_X Y$$

다시말해, $\bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{Y} \in \bar{M}$ 에서 $\nabla_X Y \in M$을 뺐다. 그러므로 $B(X,Y) \in M^{\perp}$ 이다.
Tangent Space 상에서 생각하면 더욱 간단히 이해할 수 있다. (Proposition 2.1 참조)

• Let $\mathcal{X}(U)^{\perp}$ to be the differentiable vector fields on $U$ that are normal to $f(U) \approx U$.

Propostion 2.1

If $X,Y \in \mathcal{X}(U)$, the mapping $B:\mathcal{X}(U) \times \mathcal{X}(U) \rightarrow \mathcal{X}(U)^{\perp}$ given by

$$
B(X,Y) = \bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{Y} – \nabla_X Y$$

is bilinear and symmetric.

Sketch of proof

• bilinear

$$
B(fX, Y) = B(X, fY) = fB(X, Y), \;\; f \in \mathcal{D}(U)$$

• Symmetric

$$
B(X, Y) = B(Y, X)$$

• How to proof of Symmetry
  Since $[X, Y] = \nabla_X Y – \nabla_Y X$,

  $$
  B(X,Y) = \bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{Y} – \nabla_X Y = \bar{\nabla}_{\bar{Y}} \bar{X} + [\bar{X}, \bar{Y}] – \nabla_Y X – [X,Y]$$

  Since $[\bar{X}, \bar{Y}] = [X, Y]$, we conclude that $B(X,Y) = B(Y,X)$.

• Let $p \in <$ and $\eta \in (T_p M)^{\perp}$, The mapping $H_{\eta} : T_p M \times T_p M \rightarrow \mathbb{R}$ such that

$$
H_{\eta} = \langle B(x,y), \eta \rangle, \;\;\; x,y \in T_p M$$

$H_{\eta}$는 당연하지만 Proposition 2,1에 의해 Symmetric이고 Bilinear이다.

Definition 2.2

The Quadratic form $\Pi_{\eta}(x)$ defined on $T_p M$ by

$$
\Pi_{\eta}(x) = H_{\eta}(x,x) = \langle B(x,x), \eta \rangle$$

is called the second fundamental form of $f$ at $p$ along the normal vector $\eta$.

• Self adjoint operator $S_{\eta}: T_p M \rightarrow T_p M$ 과 $H_{\eta}$와의 관계.

$$
\langle S_{\eta}(x), y \rangle = H_{\eta}(x, y) = \langle B(x,y), \eta \rangle$$

Propostion 2.3

Let $p \in M, x \in T_p M$ and $\eta \in (T_p M)^{\perp}$.
Let $N$ be a local extension of $\eta$ normal to $M$. Then

$$
S_{\eta}(x) = – (\bar{\nabla}_x N)^T$$

• Proof는 간단하다 (see p128).
• Covariant Derivative의 관점에서 $S_{\eta}(x)$를 정의한 것
• 즉, $x \in T_P M$을 따라 Normal Vector의 변화를 보는 것, 그리고 그 변화는 $T_p M$을 따라 발생한다.
• 내가 원하던, Tangent Space에서의 변화량에 따른 Normal Vector의 변화량을 그리고 이를 통해 Curvature의 변화량을 계측할 수 있는 도구가 바로 $S_{\eta}(x)$ 이다.

Sketch of Proof

Let $y \in T_p M$ and let X, Y be a local extension of $x, y \in T_p M$. Then $\langle N, Y \rangle = 0$, and

$$
\begin{align}
\langle S_{\eta}(x), y \rangle &= \langle B(X,Y), N \rangle &\because B(X,Y), N \in (T_p M)^{\perp} \\
&= \langle \bar{\nabla_X} Y – \nabla_X Y, N \rangle(p) &\bar{\nabla}_X Y \in \bar{M},\; \nabla_X Y \in M \\
&= \langle \bar{\nabla_X} Y, N \rangle (p) = – \langle Y, \bar{\nabla_X} N \rangle(p) &\because \bar{\nabla}_X \langle Y, N \rangle = \langle \bar{\nabla}_X Y, N \rangle + \langle Y, \bar{\nabla}_X N \rangle \\
&= \langle -\bar{\nabla}_x N, y \rangle \;\;\;\;\;\forall y \in T_p M
\end{align}$$

Example 2.4 : Hypersurface

Consider the particular case in which the codimension of the immersion is 1, i.e. $f:M^{n} \rightarrow \bar{M}^{n+1}; f(M) \subset \bar{M}$ is the called a hypersurface.

Note : Important thing of Eigenvalue and vectors

Let $p \in M$ and $\eta \in (T_p M)^{\perp}$, $\|\eta\| = 1$.
$S_{\eta}: T_p M \rightarrow T_p M$ 가 Symmetric이기 때문에, Eignevectors로 Orthognormal Basis $\{ e_1, \cdots e_n \}$ of $T_p M$ 을 대응하는 Eigen values $\lambda_1, \cdots \lambda_n$ 에서 만들 수 있다.

• i.e. $S_{\eta}(e_i) = \lambda_i e_i, \; 1 \leq i \leq n$.
• 그러므로 $M, \bar{M}$ 둘 다 Orientable and Oriented 되어 있다고 하면
  • $\{ e_1, \cdots, e_n \} $은 $M$의 Basis
  • $\{ e_1, \cdots, e_n, \eta \} $는 $\bar{M}$의 Basis
• 이때, $e_i$들을 Principal Directions이라 한다. 그리고 $\lambda_i = k_i$들을 Principal Curvature of $f$ 라고 한다.
• $\lambda_1, \cdots \lambda_k$의 symmetric functions들은 Immersion에 Invarients 들이다. 예를 들면…
  • $\det(S_n) = \lambda_1, \cdots \lambda_n$은 Gauss-Kronecker curvature of $f$ 이다.
  • $\frac{1}{n} (\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)$은 $f$은 Mean Curvature이다.

Gauss spherical mapping

When $\bar{M} = \mathbb{R}^{n+1}$, $N \perp M$ be a local extension of $\eta$, such that $|\eta| = 1, \eta \perp M$
Let $S_1^n = \{ x \in \mathbb{R}^{n+1}; |x| = 1 \} \subset \mathbb{R}^{n+1}$
Define the Gauss spherical mapping, $g:M^n \rightarrow S_1^n$ (이는 $N$의 원점을 $\mathbb{R}^{n+1}$의 원점으로 보내는 Mapping이다.)

$$
g(q) = \text{endpoint of the translation of} N(q)$$

고로 $T_q M$과 $T_g(q)S_1^n$ 은 서로 Parallel 이다. (원점이 같으므로 당연). 고로 이 둘을 같은 것으로 볼 수 있다.
Let $dq_q : T_p M \rightarrow T_q M$ is given by

$$
dg_q(x) = \frac{d}{dt}(N \circ c(t))_{t=0} = \bar{\nabla}_x N = (\bar{\nabla}_x N )^T = -S_{\eta}(x)$$

where $c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M$ is a curve with $c(0)=q, c'(0)=x$. 또한 $\langle N, N \rangle = 1$에서 $\bar{\nabla}_x N = (\bar{\nabla}_x N )^T$ 이다.

• 즉, $-S_{\eta}$ 는 Gauss spherical mapping 의 미분이다.

Curvature of $M, \bar{M}$ 그리고 Second Funcdamental Form과의 관계

Let $x, y \in T_p M \subset T_p \bar{M}$ to be linearly independent.
Let $K(x,y), \bar{K}(x,y)$ be a sectional curvature of $M, \bar{M}$.

Theorem 2.5 : Gauss

Let $p \in M$ and let $x, y \in T_p M$ be orthnormal vectors. Then

$$
K(x,y) – \bar{K}(x,y) = \langle B(x,x), B(y,y) \rangle – |B(x,y)|^2$$

Sketch of Proof

Let $X, Y$ be a local extension of $x, y$ such that $X \perp Y \in T_p M$, and
let $\bar{X}, \bar{Y}$ be a local extension of $X, Y$ to $\bar{M}$. Then

$$
\begin{align}
K(x,y) – \bar{K}(x,y) &= \langle \nabla_Y \nabla_X X – \nabla_X \nabla_Y X – (\bar{\nabla}_{\bar{Y}} \bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{X} – \bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{\nabla}_{\bar{Y}} \bar{X}), Y \rangle(p) \\
&+ \langle \nabla_{[X,Y]} X – \bar{\nabla}_{[\bar{X}, \bar{Y}]} \bar{X}, Y \rangle (p)
\end{align}$$

마지막 항은 다음과 같이 유도되어 0이다.

$$
\langle \nabla_{[X,Y]} X – \bar{\nabla}_{[\bar{X}, \bar{Y}]}\bar{X}, Y \rangle(p) = – \langle (\bar{\nabla}_{[\bar{X}, \bar{Y}] } \bar{X})^{\perp}, Y \rangle (p) = 0$$

Let an orthonormal fields $E_1, \cdots E_m$, $m = \dim \bar{M} – \dim M$ to $M$, then we write $B(X,Y)$ such that

$$
B(X,Y)=\sum_i H_i (X,Y)E_i, \;\;\; H_i = H_{E_i}, \;\; i=1, \cdots , m$$

따라서,

$$
\begin{align}
\bar{\nabla}_{\bar{Y}} \bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{X} &= \bar{\nabla}_{\bar{Y}} \left( \sum_i H_i (X, X) E_i + \nabla_X X \right) \\
&= \sum_i \{ H_i(X,X) \bar{\nabla}_{\bar{Y}} E_i + \bar{Y} H_i (X,X) E_i \} + \bar{\nabla}_{\bar{Y}} \nabla_X X
\end{align}$$

여기에서

$$
\begin{align}
\bar{\nabla}_{\bar{Y}} \langle E_i, Y\rangle &= \langle \bar{\nabla}_{\bar{Y}} E_i, Y \rangle + \langle E_i, \bar{\nabla}_{\bar{Y}} {\bar{Y}} \rangle & \\
0 &= \langle \bar{\nabla}_{\bar{Y}} E_i, Y \rangle + \langle E_i, \bar{\nabla}_{\bar{Y}} {\bar{Y}} \rangle &\because E_i \perp Y \\
\langle \bar{\nabla}_{\bar{Y}} E_i, Y \rangle &= -\langle E_i, \bar{\nabla}_{\bar{Y}} {\bar{Y}} \rangle + \langle E_i, \nabla_{Y} Y \rangle &\because E_i \perp \nabla_{Y} Y \in M, \;\; \langle E_i, \nabla_{Y} Y \rangle = 0 \\
&= -\langle E_i, \bar{\nabla}_{\bar{Y}} {\bar{Y}} – \nabla_{Y} Y \rangle = -H_i (Y,Y)
\end{align}$$

그리고 $\bar{Y} = Y + Y^{\perp}$ 이므로 $\langle \bar{\nabla}_{\bar{Y}} \nabla_X X, Y \rangle = \langle \nabla_Y \nabla_X X, Y \rangle$. 그러므로, at $p$,

$$
\langle \bar{\nabla}_{\bar{Y}} \bar{\nabla}_{\bar{X}} {\bar{X}}, Y \rangle = – \sum_i H_i (X,X) H_i (Y,Y) + \langle \nabla_Y \nabla_X X, Y \rangle$$

마찬가지로

$$
\langle \bar{\nabla}_{\bar{X}} \bar{\nabla}_{\bar{Y}} {\bar{X}}, Y \rangle = – \sum_i H_i (X,Y) H_i (X,Y) + \langle \nabla_X \nabla_Y X, Y \rangle$$

이를 첫 식에 대입하여 정리하면 증명 끝.

Remark 2.6 : Very Important to develope a Algorithm

Hypersurface $f:M^n \rightarrow \bar{M}^{n+1}$ 의 경우 Gauss 공식은 매우 쉽게 표현된다.
Let $p \in M$, $\eta \in (T_p M)^{\perp}$.
Let $\{ e_1, \cdots, e_n \}$ be orthonormal basis of $T_p M$, where $S_{\eta} = S$ is diagonal, that is $S(e_i) = \lambda_i e_i, i=1, \cdots n$ where $\lambda_1, \cdots \lambda_n$ are eigenvalues of $S$.
당연히 $e_i$ 는 Orthonormal Basis 이고 Eigne Vector이므로 $H(e_i, e_i) = \lambda_i$ and $H(e_i, e_j) = 0$, if $i \neq j$. 그러므로 Theorem 2.5는 다음과 같이 Simple 하게 나온다.
Since

$$
H(e_i, e_i) = \langle B(e_i, e_i), \eta \rangle = \lambda_i, \;\;\; S_{\eta}(e_i) = S(e_i) = \langle \lambda_i e_i, e_i \rangle = H(e_i, e_i) = \langle B(e_i, e_i), \eta \rangle$$

즉, Normal 측 변화가 $\lambda$ 로 간단히 나타나므로. ($H$에 대한 Normal의 차원은 1이므로)

$$
K(e_i, e_j) – \bar{K}(e_i, e_j) = \lambda_i \lambda_j \;\;\;$$

Remark 2.7

$M = M^2 \subset \bar{M} = \mathbb{R}^3$ 의 경우 $\lambda_1 \lambda_2$ 가 면에 대한 The principle curvature coincides with Gaussian curvature 이다. 이때, ㅎ면냐무 curvature는 coincides with sectional curvature가 되고 이것이 그 유명한 Theorem Egregium of Gauss 가 된다.

Example 2.8 (Curvature of $S^n$)

$S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$의 경우 sectional curvature는 항상 1이다. P132 살펴본다. 직관적으로도 $S^n$에 Mapping이므로 Curvature는 1이다.

Proposition 2.9 (Immersion and Geodesic)

An Immersion $f:M \rightarrow \bar{M}$ is geodesic at $p \in M$ if and only if every geodesic $\gamma$ of $M$ starting from $p$ is a geodesic of $\bar{M}$ at $p$.

Sketch of proof

Let $\gamma(0)=p, \gamma'(0)=x$. Let $N$ be a local extention normal to $M$ of a vector $\eta$ norma to $M$ at $p$.
Let $X$ be a local extension of $\gamma'(t)$ to a tangent field on $M$. Since $\langle X, N \rangle = 0$. at $p$

$$
\begin{align}
H_{\eta}(x,x) &= \langle S_{\eta}(x), x \rangle &\because \text{by definition} \\
&= – \langle \bar{\nabla}_X N, X \rangle &\because \text{by definition} \\
&= – X\langle N, X \rangle + \langle N, \bar{\nabla}_X X \rangle &\because X\langle N, X \rangle = \langle \bar{\nabla}_X N, X \rangle + \langle N, \bar{\nabla}_X X \rangle \\
&= \langle N, \bar{\nabla}_X X \rangle
\end{align}$$

여기서 $f$가 $p$에서 $\forall x \in T_p M$ 에 대하여Geodesic이면 $\gamma \in T_p M$ 이므로 $\bar{\nabla}_X X$ 에는 Normal Component가 없으므로 $\langle N, \bar{\nabla}_X X \rangle = 0$ 이 될 것이다. 그러면, $\bar{M}$에서의 Geodesic이나 $M$에서의 Geodesic은 같다.

Note

다음 그림에서 Gauss Formula 에서, 점 p에서의 Gaussian Curvature는 $K_S(p) = K(p, \sigma)$

다시말해, the sectional curvature $K(p, \sigma)$ 는 Gaussian Curvature at $p$, of a small surface formed by geodesics of $M$ that start from $p$ and are tangent to $\sigma$.

또한 다음 그림과 같이 좀 더 극단적으로 $\bar{M}=S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$의 경우를 생각할 수 있다 (P133)

이 경우에도 Totally Geodesic of $S^n$과 Locally Geodesic of $\Sigma$는 서로 동일하다.
위 그림과 같은 경우는 Sectional curvature까지 동일하게 되는 경우이다.

Definition 2.10 : A minimal Immersion

An Immersion $f:M \rightarrow \bar{M}$ is called minimal if for every $p \in M$ and every $\eta \in (T_p M)^{\perp}$, the trace of $S_{\eta} = 0$.

• Minimal의 의미는 Immersion이 가능하게 하는 $\bar{M}$ 의 Volume을 최소화 시킨다는 의미가 있기 때문이다.
• $E_1, \cdots E_m$ 을 $\mathcal{X}(U)^{\perp}$의 Orthonormal Frame이라 놓자. where $U$ is a neighorhood of $p$ in which $f$ is an embedding. 그러면

$$
B(x,y) = \sum_i H_i (x,y) E_i, \;\;\; x,y \in T_p M, i=1, \cdots, m$$

where $H_i = H_{E_i}$. 그러면 The mean curvature vector of $f$를 다음과 같이 놓을 수 있으며 이는 Frame의 선택과는 관계 없다.

$$
H = \frac{1}{n}\sum_i (\text{trace } S_i) E_i$$

이 경우 $f$가 Minimal이기 위한 필요충분 조건은 $H(p) =0, \;\forall p \in M$.

Note 꼭 기억하자.

$$
S_{\eta}(X) = -(\bar{\nabla}_X \eta)^T \;\;$$

• Transpose가 아니라 Tangent Space상에 존재하는 Component들로 이루어졌다는 의미이다.
• -Tangent가 $S_{\eta}(X)$ 의 의미이다.
• $S_{\eta}: T_p M \rightarrow T_p M$ 임을 기억하자.

  $$
  \langle S_{\eta}(x), y \rangle = H_{\eta}(x, y) = \langle B(x,y), \eta \rangle$$

Fundamental Equations

Normal Connection $\nabla^{\perp}$

$$
\nabla_X^{\perp} \eta = (\bar{\nabla}_X \eta)^N = \bar{\nabla}_X \eta – (\bar{\nabla}_X \eta)^T = \bar{\nabla}_X \eta + S_{\eta}(X)$$

• Linear 특징

$$
\nabla^{\perp}_X (f\eta) = f \nabla^{\perp}_X \eta + X(f) \eta,\;\; f \in \mathcal{D}(M)$$

• Normal Curvature $R^{\perp}$

$$
E^{\perp}(X,Y)\eta = \nabla_Y^{\perp} \nabla_X^{\perp} \eta – \nabla_X^{\perp} \nabla_Y^{\perp} \eta + \nabla_{[X,Y]}^{\perp} \eta$$

Proposition 3.1

Gauss equation

$$
\langle \bar{R}(X,Y)Z, T \rangle = \langle R(X,Y)Z, T \rangle -\langle B(Y,T), B(X,Z)) \rangle + \langle B(X,T), B(Y,Z) \rangle$$

Ricci equation

$$
\langle \bar{R}(X,Y)\eta, \zeta \rangle – \langle R^{\perp}(X,Y) \eta, \zeta \rangle = \langle [S_{\eta}, S_{\zeta}]X, Y \rangle$$

where $[S_{\eta}, S_{\zeta}]$ denotes the operator $S_{eta} \circ S_{\zeta} – S_{\zeta} \circ S_{\eta}$.

The Second fundamental form of the immersion 은 Tensor로 볼 수 있으므로 다음과 같이 정의된다고 하자.

$$
B: \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M)^{\perp} \rightarrow \mathbb{R} \\
B(X, Y, \eta) = \langle B(X, Y), \eta \rangle$$

Proposition 3.4 : Codazzi Equation

$$
\langle \bar{R}(X,Y)Z, \eta \rangle = (\bar{\nabla}_Y B)(X, Z, \eta) – (\bar{\nabla}_X B)(Y, Z, \eta)$$

Note

$(\bar{\nabla}_Y B)(X, Z, \eta)$ 에서 $B(X, Y, \eta) = \langle B(X, Y), \eta \rangle$ 인 Tensor 표기이므로 이를 먼저 정의에 의해 일반 연산으로 바꾸어서 해석한다. Tensor지만 결과는 스칼라이므로 비교적 간단한 편이다.

Note : Remind

Definition 5.7 : Tensor의 Covariant Derivation

Let $T$ be a tensor of order $r$. The covariant differential $\nabla T$ of $T$ is a thttp://jnwhome.iptime.org/?p=367&preview=trueensor of order $(r+1)$ given by

$$
\nabla T (Y_1, \cdots, Y_r, Z) = Z(T(Y_1, \cdots, Y_r)) – T(\nabla_Z Y_1, \cdots, T_r) – \cdots – T(Y_1, \cdots, Y_{r-1}, \nabla_Z Y_r).$$

For each $Z \in \mathcal{X}(M)$, the covarinat derivative $\nabla_Z T$ of $T$ relative to $Z$ is a tensor of order $r$ given by

$$
\nabla_Z T(Y_1, \cdots, Y_r) = \nabla T(Y_1, \cdots, Y_r, Z)$$

• 다시말해 Tensor의 Covariant Derivative는 Tensor의 맨 마지막 Vector field에 의한 Covariant Derivative 라는 것이다. 따라서 다음과 같다.

<

p class=”mathjax”>$$
\nabla_Z T(Y_1, \cdots, Y_r) = Z(T(Y_1, \cdots, Y_r)) – T(\nabla_Z Y_1, \cdots, T_r) – \cdots – T(Y_1, \cdots, Y_{r-1}, \nabla_Z Y_r).$$